Родился в 23 ноября 1929 году в городе Шебекино Белгородской области.
Во время войны 12-летним убежал из дома на фронт и стал сыном полка. В качестве добровольца-разведчика прошел всю войну. Участвовал в боях под Сталинградом, на Курской дуге, в освобождении Белгорода. Очевидец штурма Берлина. Оставил свой автограф на стене рейхстага: «Лёнька Кузубов из Белгорода».
На фронте Леонид Кузубов стал писать стихи. Первое стихотворение появилось в 1942 г. в «Красноармейской газете» в Сталинграде.
Первая книга – «Капля росы» – увидела свет в 1961 году. Затем стихи публиковались в «Красной звезде», «Литературной газете», «Комсомольской правде», «Известиях», в журнале «Огонек», были переведены на польский, немецкий, словацкий, венгерский, румынский, болгарский, осетинский, белорусский, грузинский и другие языки.
В творческом багаже Леонида Кузубова 16 поэтических сборников, выходивших в Москве, Воронеже, Белгороде, Берлине. Книги «Шкатулка смешинок», «Веселка», «Республика малышей», «Азбука в стихах и картинках» адресованы малышам.
Многие стихи поэта отличаются музыкальной напевностью, положены на музыку, публиковались в сборниках рядом с произведениями С. Долматовского, М. Танича, Р. Рождественского.
Трижды лауреат литературных конкурсов Белгородчины.
В 1967 году Л. Кузубову присуждена Всесоюзная литературная премия ЦК ДОСААФ и Союза писателей СССР за поэму «Ровесник Октября».
В 1977 году по решению бюро секретариата ЦК ВЛКСМ и Союза писателей СССР ему было присуждено звание лауреата премии им. А.Фадеева за цикл стихов «Ночь перед атакой», призер Международного конкурса «Год века» (Чехословакия, 1987).
В 1994 году принят в члены Союза писателей России.
Книги:
Кузубов, Л. Т. Капля росы : стихи / Л. Т. Кузубов. – Белгород : Белгородское книжное изд-во, 1961. – 25 с.
Кузубов, Л. Т. Соловьиная россыпь : стихи / Л. Т. Кузубов. – Белгород : Белгородское книжное изд-во, 1963. – 112 с.
Кузубов, Л. Т. Мужество. Новые стихи / Л. Т. Кузубов. – Воронеж : Центр.-Черноземное книжное изд-во, 1978. – 109 с.
Кузубов, Л. Т. Суровая юность : стихи / Л. Т. Кузубов. – Воронеж : Центр.-Черноземное книжное изд-во, 1989. – 95 с.
Кузубов, Л. Т. Талисман : миниатюры / Л. Т. Кузубов. – Белгород : В. Шаповалов, 1993. – 160 с.
Кузубов, Л. Т. Оберег : стихи / Л. Т. Кузубов. – Белгород : Звонница, 1995. – 336 с.
Кузубов, Л. Т. Русский ковчег : стихи / Л. Т. Кузубов. – Белгород : В. Шаповалов, 1995. – 336 с.
Кузубов, Л. Т. Таинство : стихи / Л. Т. Кузубов. – Белгород : В. Шаповалов, 1995. – 336 с.
Кузубов, Л. Т. Азбука в стихах и картинках / Л. Т. Кузубов. – Белгород : Крестьянское дело, 2003. – 24 с.
Кузубов, Л. Т. Русский ковчег / Л. Т. Кузубов. – Белгород : В. Шаповалов, 2006. – 576 с.
Кузубов, Л. Т. Оберег : стихи / Л. Т. Кузубов. – Белгород : Звонница, 2009. – 320 с.