Родился 17 октября 1918 года в городе Шебекино Белгородской области. Окончил десять классов средней школы.
В августе 1937 года призван в ряды Красной Армии.
В 1940 году окончил Чугуевское военно-авиационное училище лётчиков.
В боях Великой Отечественной войны с июня 1941 года. Воевал на Ленинградском, Брянском и 1-м Прибалтийском фронтах в должностях командира звена, заместителя командира истребительной авиационной эскадрильи, штурмана полка, командира истребительного авиаполка.
В 1943 году участвовал в Курском сражении. Принимал участие в освобождении от немецко-фашистских захватчиков республик Прибалтики, в штурме Кёнигсберга.
К августу 1943 года штурман 171-го истребительного авиационного полка капитан А.Г. Шевцов совершил 220 боевых вылетов, в 47 воздушных боях сбил лично 10 и в группе 6 самолётов противника.
Два из них он сбил в одном бою над Ленинградом. Тогда капитан А.Г. Шевцов вылетел на разведку. В районе города Луга он встретился с бомбардировщиками противника, направлявшимися к Ленинграду. Развернув самолет, А.Г. Шевцов атаковал их. Он пошел в лобовую атаку на один из «Юнкерсов». Дав длинную очередь из пулемёта и промахнувшись, А.Г. Шевцов сделал крутой вираж, зашел в хвост фашистского самолета и сбил его. Вскоре был сбит и второй «Юнкерс».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 сентября 1943 года за мужество и героизм, проявленные в воздушных боях с немецко-фашистскими захватчиками капитану Шевцову Александру Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1710).
К концу войны совершил около 300 успешных боевых вылетов, в воздушных боях уничтожив лично 15 самолётов противника.
После окончания Великой Отечественной войны А.Г. Шевцов продолжил службу в Военно-воздушных силах.
В 1949 году окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе.
С 1949 года служил в Войсках ПВО страны, заместитель командира дивизии. С 1951 года – командир 97-й истребительной авиационной дивизией в Калуге.
С января по август 1952 года дивизия вела боевые действия в Северной Корее против ВВС США и их союзников по «международным силам ООН» в Корейской войне. Под его командованием лётчики дивизии выполнили 4189 боевых вылетов, провели 164 воздушных боя и сбили 67 самолётов врага, свои потери составили 21 самолёт и 10 лётчиков.
В 1956 году окончил Высшую военную академию имени К.Е. Ворошилова.
С 1956 года – заместитель командира, затем командир истребительного авиационного корпуса.
С января 1960 года – первый заместитель командующего воздушной армией.
С апреля 1961 года – в Ракетных войсках стратегического назначения СССР, первый заместитель командующего 50-й ракетной армией (Смоленск). С августа 1962 года – командующий 43-й ракетной армией (Винница).
С июня 1966 года – начальник Главного штаба – 1-й заместитель Главнокомандующего Ракетными войсками стратегического назначения СССР, член Военного Совета РВСН.
С сентября 1976 года генерал-полковник А.Г. Шевцов – в запасе. Депутат Верховного Совета РСФСР 5-го созыва и Украинской ССР 6-го созыва.
Жил в городе-герое Москве.
Скончался 28 апреля 1988 года.
Похоронен в Москве на Кунцевском кладбище.
Использованные источники:
1. Сердюк, И. Охраняя небо. О Герое Советского Союза А. Шевцове / И. Сердюк // Красное знамя. – 1981. – 13 марта.
2. Шевцов Александр Григорьевич // Белгородская энциклопедия / гл. ред. В. В. Овчинников. – Белгород : Областная типография, 2000. – С. 434.
3. Шевцов Александр Григорьевич // Герои – белгородцы : сборник / сост. И. А. Сердюк. – Воронеж : Центрально-Черноземное книжное издательтво, 1995. – С. 269.
4. Шевцов Александр Григорьевич // Красное знамя. – 1988. – 8 мая.
5. Шевцов Александр Григорьевич // Ратная доблесть белгородцев / сост. : Ю. И. Гончаренко, В. Е. Молчанов. – Белгород : Истоки, 1995. – С. 146.